參考資料(要是對於本文的理解不夠透徹，必須將以下博客認知閱讀，方可全面了解LR)：
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一、邏輯回歸介紹
邏輯回歸（Logistic Regression）是一種廣義線性回歸。線性回歸解決的是回歸問題，預測值是實數範圍，邏輯回歸則相反，解決的是分類問題，預測值是[0,1]範圍。所以邏輯回歸名為回歸，實為分類。接下來讓我們用一句話來概括邏輯回歸(LR):
邏輯回歸假設數據服從伯努利分佈，通過極大化似然函數的方法，運用梯度下降來求解參數，來達到將數據二分類的目的。
這句話包含了五點，接下來一一介紹：
- 邏輯回歸的假設
- 邏輯回歸的損失函數
- 邏輯回歸的求解方法
- 邏輯回歸的目的
- 邏輯回歸如何分類
二、邏輯回歸的假設
任何的模型都是有自己的假設，在這個假設下模型才是適用的。邏輯回歸的第一個基本假設是假設數據服從伯努利分佈。
伯努利分佈：是一個離散型概率分佈，若成功，則隨機變量取值1；若失敗，隨機變量取值為0。成功概率記為p，失敗為q = 1-p。
在邏輯回歸中，既然假設了數據分佈服從伯努利分佈，那就存在一個成功和失敗，對應二分類問題就是正類和負類，那麼就應該有一個樣本為正類的概率p，和樣本為負類的概率q = 1- p。具體我們寫成這樣的形式：
邏輯回歸的第二個假設是正類的概率由sigmoid的函數計算，即：
即：
寫在一起：
個人理解，解釋一下這個公式，並不是用了樣本的標籤y，而是說你想要得到哪個的概率，y = 1時意思就是你想得到正類的概率，y = 0時就意思是你想要得到負類的概率。另外在求參數時，這個y是有用的，這點在下面會說到。
另外關於這個值， 是個概率，還沒有到它真正能成為預測標籤的地步，更具體的過程應該是分別求出正類的概率，即y = 1時，和負類的概率，y = 0時，比較哪個大，因為兩個加起來是1，所以我們通常默認的是只用求正類概率，只要大於0.5即可歸為正類，但這個0.5是人為規定的，如果願意的話，可以規定為大於0.6才是正類，這樣的話就算求出來正類概率是0.55，那也不能預測為正類，應該預測為負類。
理解了二元分類回歸的模型，接着我們就要看模型的損失函數了，我們的目標是極小化損失函數來得到對應的模型係數θ。
三、邏輯回歸的損失函數
回顧下線性回歸的損失函數，由於線性回歸是連續的，所以可以使用模型誤差的的平方和來定義損失函數。但是邏輯回歸不是連續的，自然線性回歸損失函數定義的經驗就用不上了。不過我們可以用最大似然法(MLE)來推導出我們的損失函數。有點人把LR的loss function成為log損失函數，也有人把它稱為交叉熵損失函數(Cross Entropy)。
極大似然估計：利用已知的樣本結果信息，反推最具有可能（最大概率）導致這些樣本結果出現的模型參數值（模型已定，參數未知）
如何理解這句話呢？
再聯繫到邏輯回歸里，一步步來分解上面這句話，首先確定一下模型是否已定，模型就是用來預測的那個公式：
參數就是裏面的 ，那什麼是樣本結果信息，就是我們的x，y，是我們的樣本，分別為特徵和標籤，我們的已知信息就是在特徵取這些值的情況下，它應該屬於y類（正或負）。
反推最具有可能（最大概率）導致這些樣本結果出現的參數，舉個例子，我們已經知道了一個樣本點，是正類，那麼我們把它丟入這個模型后，它預測的結果一定得是正類啊，正類才是正確的，才是我們所期望的，我們要盡可能的讓它最大，這樣才符合我們的真實標籤。反過來一樣的，如果你丟的是負類，那這個式子計算的就是負類的概率，同樣我們要讓它最大，所以此時不用區分正負類。
這樣串下來，一切都說通了，概括一下：
一個樣本，不分正負類，丟入模型，多的不說，就是一個字，讓它大
一直只提了一個樣本，但對於整個訓練集，我們當然是期望所有樣本的概率都達到最大，也就是我們的目標函數，本身是個聯合概率，但是假設每個樣本獨立，那所有樣本的概率就可以由以下公式推到:
設：
似然函數：
為了更方便求解，我們對等式兩邊同取對數，寫成對數似然函數：
在機器學習中我們有損失函數的概念，其衡量的是模型預測錯誤的程度。如果取整個數據集上的平均對數似然損失，我們可以得到:
即在邏輯回歸模型中，我們最大化似然函數和最小化損失函數實際上是等價的。所以說LR的loss function可以由MLE推導出來。
四、邏輯回歸損失函數的求解
解邏輯回歸的方法有非常多，主要有梯度下降(一階方法)和牛頓法(二階方法)。優化的主要目標是找到一個方向，參數朝這個方向移動之後使得損失函數的值能夠減小，這個方嚮往往由一階偏導或者二階偏導各種組合求得。邏輯回歸的損失函數是：
隨機梯度下降：梯度下降是通過 J(w) 對 w 的一階導數來找下降方向，初始化參數w之後，並且以迭代的方式來更新參數，更新方式為 :
其中 k 為迭代次數。每次更新參數后，可以通過比較 小於閾值或者到達最大迭代次數來停止迭代。
梯度下降又有隨機梯度下降，批梯度下降，small batch 梯度下降三種方式：
- 簡單來說 批梯度下降會獲得全局最優解，缺點是在更新每個參數的時候需要遍歷所有的數據，計算量會很大，並且會有很多的冗餘計算，導致的結果是當數據量大的時候，每個參數的更新都會很慢。
- 隨機梯度下降是以高方差頻繁更新，優點是使得sgd會跳到新的和潛在更好的局部最優解，缺點是使得收斂到局部最優解的過程更加的複雜。
- 小批量梯度下降結合了sgd和batch gd的優點，每次更新的時候使用n個樣本。減少了參數更新的次數，可以達到更加穩定收斂結果，一般在深度學習當中我們採用這種方法。
加分項，看你了不了解諸如Adam，動量法等優化方法（在這就不展開了，以後有時間的話專門寫一篇關於優化方法的）。因為上述方法其實還有兩個致命的問題：
- 第一個是如何對模型選擇合適的學習率。自始至終保持同樣的學習率其實不太合適。因為一開始參數剛剛開始學習的時候，此時的參數和最優解隔的比較遠，需要保持一個較大的學習率儘快逼近最優解。但是學習到後面的時候，參數和最優解已經隔的比較近了，你還保持最初的學習率，容易越過最優點，在最優點附近來回振蕩，通俗一點說，就很容易學過頭了，跑偏了。
- 第二個是如何對參數選擇合適的學習率。在實踐中，對每個參數都保持的同樣的學習率也是很不合理的。有些參數更新頻繁，那麼學習率可以適當小一點。有些參數更新緩慢，那麼學習率就應該大一點。
有關梯度下降原理以及優化算法詳情見我的博客：
任何模型都會面臨過擬合問題，所以我們也要對邏輯回歸模型進行正則化考慮。常見的有L1正則化和L2正則化。
L1 正則化
LASSO 回歸，相當於為模型添加了這樣一個先驗知識：w 服從零均值拉普拉斯分佈。 首先看看拉普拉斯分佈長什麼樣子：
由於引入了先驗知識，所以似然函數這樣寫：
取 log 再取負，得到目標函數：
等價於原始損失函數的後面加上了 L1 正則，因此 L1 正則的本質其實是為模型增加了“模型參數服從零均值拉普拉斯分佈”這一先驗知識。
L2 正則化
Ridge 回歸，相當於為模型添加了這樣一個先驗知識：w 服從零均值正態分佈。
首先看看正態分佈長什麼樣子：
由於引入了先驗知識，所以似然函數這樣寫：
取 ln 再取負，得到目標函數：
等價於原始的損失函數後面加上了 L2 正則，因此 L2 正則的本質其實是為模型增加了“模型參數服從零均值正態分佈”這一先驗知識。
其餘有關正則化的內容詳見：
五、邏輯回歸的目的
該函數的目的便是將數據二分類，提高準確率。
六、邏輯回歸如何分類
這個在上面的時候提到了，要設定一個閾值，判斷正類概率是否大於該閾值，一般閾值是0.5，所以只用判斷正類概率是否大於0.5即可。
七、為什麼LR不使用平方誤差(MSE)當作損失函數？
1. 平方誤差損失函數加上sigmoid的函數將會是一個非凸的函數，不易求解，會得到局部解，用對數似然函數得到高階連續可導凸函數，可以得到最優解。
2. 其次，是因為對數損失函數更新起來很快，因為只和x，y有關，和sigmoid本身的梯度無關。如果你使用平方損失函數，你會發現梯度更新的速度和sigmod函數本身的梯度是很相關的。sigmod函數在它在定義域內的梯度都不大於0.25。這樣訓練會非常的慢。
八、邏輯回歸的優缺點
優點：
- 形式簡單，模型的可解釋性非常好。從特徵的權重可以看到不同的特徵對最後結果的影響，某個特徵的權重值比較高，那麼這個特徵最後對結果的影響會比較大。
- 模型效果不錯。在工程上是可以接受的（作為baseline)，如果特徵工程做的好，效果不會太差，並且特徵工程可以大家并行開發，大大加快開發的速度。
- 訓練速度較快。分類的時候，計算量僅僅只和特徵的數目相關。並且邏輯回歸的分佈式優化sgd發展比較成熟，訓練的速度可以通過堆機器進一步提高，這樣我們可以在短時間內迭代好幾個版本的模型。
- 資源佔用小,尤其是內存。因為只需要存儲各個維度的特徵值。
- 方便輸出結果調整。邏輯回歸可以很方便的得到最後的分類結果，因為輸出的是每個樣本的概率分數，我們可以很容易的對這些概率分數進行cut off，也就是劃分閾值(大於某個閾值的是一類，小於某個閾值的是一類)。
缺點：
- 準確率並不是很高。因為形式非常的簡單(非常類似線性模型)，很難去擬合數據的真實分佈。
- 很難處理數據不平衡的問題。舉個例子：如果我們對於一個正負樣本非常不平衡的問題比如正負樣本比 10000:1.我們把所有樣本都預測為正也能使損失函數的值比較小。但是作為一個分類器，它對正負樣本的區分能力不會很好。
- 處理非線性數據較麻煩。邏輯回歸在不引入其他方法的情況下，只能處理線性可分的數據，或者進一步說，處理二分類的問題 。
- 邏輯回歸本身無法篩選特徵。有時候，我們會用gbdt來篩選特徵，然後再上邏輯回歸。
西瓜書中提到了如何解決LR缺點中的藍色字體所示的缺點：
九、 邏輯斯特回歸為什麼要對特徵進行離散化。
- 非線性！非線性！非線性！邏輯回歸屬於廣義線性模型，表達能力受限；單變量離散化為N個后，每個變量有單獨的權重，相當於為模型引入了非線性，能夠提升模型表達能力，加大擬合； 離散特徵的增加和減少都很容易，易於模型的快速迭代；
- 速度快！速度快！速度快！稀疏向量內積乘法運算速度快，計算結果方便存儲，容易擴展；
- 魯棒性！魯棒性！魯棒性！離散化后的特徵對異常數據有很強的魯棒性：比如一個特徵是年齡>30是1，否則0。如果特徵沒有離散化，一個異常數據“年齡300歲”會給模型造成很大的干擾；
- 方便交叉與特徵組合：離散化后可以進行特徵交叉，由M+N個變量變為M*N個變量，進一步引入非線性，提升表達能力；
- 穩定性：特徵離散化后，模型會更穩定，比如如果對用戶年齡離散化，20-30作為一個區間，不會因為一個用戶年齡長了一歲就變成一個完全不同的人。當然處於區間相鄰處的樣本會剛好相反，所以怎麼劃分區間是門學問；
- 簡化模型：特徵離散化以後，起到了簡化了邏輯回歸模型的作用，降低了模型過擬合的風險。
十、與其他模型的對比
與SVM
相同點
1. 都是線性分類器。本質上都是求一個最佳分類超平面。都是監督學習算法。
2. 都是判別模型。通過決策函數，判別輸入特徵之間的差別來進行分類。
- 常見的判別模型有：KNN、SVM、LR。
- 常見的生成模型有：樸素貝恭弘=叶 恭弘斯，隱馬爾可夫模型。
不同點
(1). 本質上是損失函數不同
LR的損失函數是交叉熵：
SVM的目標函數：
- 邏輯回歸基於概率理論，假設樣本為正樣本的概率可以用sigmoid函數（S型函數）來表示，然後通過極大似然估計的方法估計出參數的值。
- 支持向量機基於幾何間隔最大化原理，認為存在最大幾何間隔的分類面為最優分類面。
(2). 兩個模型對數據和參數的敏感程度不同
- SVM考慮分類邊界線附近的樣本（決定分類超平面的樣本）。在支持向量外添加或減少任何樣本點對分類決策面沒有任何影響；
- LR受所有數據點的影響。直接依賴數據分佈，每個樣本點都會影響決策面的結果。如果訓練數據不同類別嚴重不平衡，則一般需要先對數據做平衡處理，讓不同類別的樣本盡量平衡。
- LR 是參數模型，SVM 是非參數模型，參數模型的前提是假設數據服從某一分佈，該分佈由一些參數確定（比如正太分佈由均值和方差確定），在此基礎上構建的模型稱為參數模型；非參數模型對於總體的分佈不做任何假設，只是知道總體是一個隨機變量，其分佈是存在的（分佈中也可能存在參數），但是無法知道其分佈的形式，更不知道分佈的相關參數，只有在給定一些樣本的條件下，能夠依據非參數統計的方法進行推斷。
(3). SVM 基於距離分類，LR 基於概率分類。
- SVM依賴數據表達的距離測度，所以需要對數據先做 normalization；LR不受其影響。
(4). 在解決非線性問題時，支持向量機採用核函數的機制，而LR通常不採用核函數的方法。
- SVM算法里，只有少數幾個代表支持向量的樣本參与分類決策計算，也就是只有少數幾個樣本需要參与核函數的計算。
- LR算法里，每個樣本點都必須參与分類決策的計算過程，也就是說，假設我們在LR里也運用核函數的原理，那麼每個樣本點都必須參与核計算，這帶來的計算複雜度是相當高的。尤其是數據量很大時，我們無法承受。所以，在具體應用時，LR很少運用核函數機制。
(5). 在小規模數據集上，Linear SVM要略好於LR，但差別也不是特別大，而且Linear SVM的計算複雜度受數據量限制，對海量數據LR使用更加廣泛。
(6). SVM的損失函數就自帶正則，而 LR 必須另外在損失函數之外添加正則項。
那怎麼根據特徵數量和樣本量來選擇SVM和LR模型呢？Andrew NG的課程中給出了以下建議：
- 如果Feature的數量很大，跟樣本數量差不多，這時候選用LR或者是Linear Kernel的SVM
- 如果Feature的數量比較小，樣本數量一般，不算大也不算小，選用SVM+Gaussian Kernel
- 如果Feature的數量比較小，而樣本數量很多，需要手工添加一些feature變成第一種情況。(LR和不帶核函數的SVM比較類似。)
插入一個知識點：判別模型與生成模型的區別？
公式上看
- 生成模型： 學習時先得到P(x,y)，繼而得到 P(y|x)。預測時應用最大后驗概率法（MAP）得到預測類別 y。
- 判別模型： 直接學習得到P(y|x)，利用MAP得到 y。或者直接學得一個映射函數 y=f(x) 。
直觀上看
- 生成模型： 關注數據是如何生成的
- 判別模型： 關注類別之間的差別
數據要求：生成模型需要的數據量比較大，能夠較好地估計概率密度；而判別模型對數據樣本量的要求沒有那麼多。
更多區別見
與樸素貝恭弘=叶 恭弘斯
相同點
樸素貝恭弘=叶 恭弘斯和邏輯回歸都屬於分類模型，當樸素貝恭弘=叶 恭弘斯的條件概率 服從高斯分佈時，它計算出來的 P(Y=1|X) 形式跟邏輯回歸是一樣的。
不同點
- 邏輯回歸是判別式模型 p(y|x)，樸素貝恭弘=叶 恭弘斯是生成式模型 p(x,y)：判別式模型估計的是條件概率分佈，給定觀測變量 x 和目標變量 y 的條件模型，由數據直接學習決策函數 y=f(x) 或者條件概率分佈 P(y|x) 作為預測的模型。判別方法關心的是對於給定的輸入 x，應該預測什麼樣的輸出 y；而生成式模型估計的是聯合概率分佈，基本思想是首先建立樣本的聯合概率概率密度模型 P(x,y)，然後再得到后驗概率 P(y|x)，再利用它進行分類，生成式更關心的是對於給定輸入 x 和輸出 y 的生成關係；
- 樸素貝恭弘=叶 恭弘斯的前提是條件獨立，每個特徵權重獨立，所以如果數據不符合這個情況，樸素貝恭弘=叶 恭弘斯的分類表現就沒邏輯會好了。
十一、多分類問題(LR解決多分類問題)
參考西瓜書！！！
現實中我們經常遇到不只兩個類別的分類問題，即多分類問題，在這種情形下，我們常常運用“拆分”的策略，通過多個二分類學習器來解決多分類問題，即將多分類問題拆解為多個二分類問題，訓練出多個二分類學習器，最後將多個分類結果進行集成得出結論。最為經典的拆分策略有三種：“一對一”（OvO）、“一對其餘”（OvR）和“多對多”（MvM），核心思想與示意圖如下所示。
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OvO：給定數據集D，假定其中有N個真實類別，將這N個類別進行兩兩配對（一個正類/一個反類），從而產生N（N-1）/2個二分類學習器，在測試階段，將新樣本放入所有的二分類學習器中測試，得出N（N-1）個結果，最終通過投票產生最終的分類結果。
優點：它在一定程度上規避了數據集 unbalance 的情況，性能相對穩定，並且需要訓練的模型數雖然增多，但是每次訓練時訓練集的數量都降低很多，其訓練效率會提高。
缺點：訓練出更多的 Classifier，會影響預測時間。
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OvM：給定數據集D，假定其中有N個真實類別，每次取出一個類作為正類，剩餘的所有類別作為一個新的反類，從而產生N個二分類學習器，在測試階段，得出N個結果，若僅有一個學習器預測為正類，則對應的類標作為最終分類結果。
優點：普適性還比較廣，可以應用於能輸出值或者概率的分類器，同時效率相對較好，有多少個類別就訓練多少個分類器。
缺點：很容易造成訓練集樣本數量的不平衡（Unbalance），尤其在類別較多的情況下，經常容易出現正類樣本的數量遠遠不及負類樣本的數量，這樣就會造成分類器的偏向性。
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MvM：給定數據集D，假定其中有N個真實類別，每次取若干個類作為正類，若干個類作為反類（通過ECOC碼給出，編碼），若進行了M次劃分，則生成了M個二分類學習器，在測試階段（解碼），得出M個結果組成一個新的碼，最終通過計算海明/歐式距離選擇距離最小的類別作為最終分類結果。
十一、邏輯回歸實例(數據來源於Kaggle)
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