EM算法是一種迭代算法，用於含有隱變量的概率模型參數的極大似然估計。
使用EM算法的原因
首先舉李航老師《統計學習方法》中的例子來說明為什麼要用EM算法估計含有隱變量的概率模型參數。
假設有三枚硬幣，分別記作A， B， C。這些硬幣正面出現的概率分別是$\pi,p,q$。進行如下擲硬幣試驗：先擲硬幣A，根據其結果選出硬幣B或C，正面選硬幣B，反面邊硬幣C；然後擲選出的硬幣，擲硬幣的結果出現正面記作1，反面記作0；獨立地重複$n$次試驗，觀測結果為$\{y_1,y_2,…,y_n\}$。問三硬幣出現正面的概率。
三硬幣模型（也就是第二枚硬幣正反面的概率）可以寫作
$ \begin{aligned} &P(y|\pi,p,q) \\ =&\sum\limits_z P(y,z|\pi,p,q)\\ =&\sum\limits_z P(y|z,\pi,p,q)P(z|\pi,p,q)\\ =&\pi p^y(1-p)^{1-y}+(1-\pi)q^y(1-q)^{1-y} \end{aligned} $
其中$z$表示硬幣A的結果，也就是前面說的隱變量。通常我們直接使用極大似然估計，即最大化似然函數
$ \begin{aligned} &\max\limits_{\pi,p,q}\prod\limits_{i=1}^n P(y_i|\pi,p,q) \\ =&\max\limits_{\pi,p,q}\prod\limits_{i=1}^n[\pi p^{y_i}(1-p)^{1-y_i}+(1-\pi)q^{y_i}(1-q)^{1-y_i}]\\ =&\max\limits_{\pi,p,q}\sum\limits_{i=1}^n\log[\pi p^{y_i}(1-p)^{1-y_i}+(1-\pi)q^{y_i}(1-q)^{1-y_i}]\\ =&\max\limits_{\pi,p,q}L(\pi,p,q) \end{aligned} $
分別對$\pi,p,q$求偏導並等於0，求解線性方程組來估計這三個參數。但是，由於它是帶有隱變量的，在獲取最終的隨機變量之前有一個分支選擇的過程，導致這個$\log$的內部是加和的形式，計算導數十分困難，而待求解的方程組不是線性方程組。當複雜度一高，解這種方程組幾乎成為不可能的事。以下推導EM算法，它以迭代的方式來求解這些參數，應該也算一種貪心吧。
算法導出與理解
對於參數為$\theta$且含有隱變量$Z$的概率模型，進行$n$次抽樣。假設隨機變量$Y$的觀察值為$\mathcal{Y} = \{y_1,y_2,…,y_n\}$，隱變量$Z$的$m$個可能的取值為$\mathcal{Z}=\{z_1,z_2,…,z_m\}$。
寫出似然函數：
$ \begin{aligned} L(\theta) &= \sum\limits_{Y\in\mathcal{Y}}\log P(Y|\theta)\\ &=\sum\limits_{Y\in\mathcal{Y}}\log \sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Y,Z|\theta)\\ \end{aligned} $
EM算法首先初始化參數$\theta = \theta^0$，然後每一步迭代都會使似然函數增大，即$L(\theta^{k+1})\ge L(\theta^k)$。如何做到不斷變大呢？考慮迭代前的似然函數（為了方便不用$\theta^{k+1}$）：
$ \begin{gather} \begin{aligned} L(\theta)=&\sum\limits_{Y\in \mathcal{Y}} \log\sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Y,Z|\theta)\\ =&\sum\limits_{Y\in \mathcal{Y}} \log\sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Z|Y,\theta^k)\frac{P(Y,Z|\theta)}{P(Z|Y,\theta^k)}\\ \end{aligned} \label{} \end{gather} $
至於上式的第二個等式為什麼取出$P(Z|Y,\theta^k)$而不是別的，正向的原因我想不出來，馬後炮原因在後面記錄。
考慮其中的求和
$ \sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Z|Y,\theta^k)=1$
且由於$\log$函數是凹函數，因此由Jenson不等式得
$ \begin{gather} \begin{aligned} L(\theta) \ge&\sum\limits_{Y\in \mathcal{Y}}\sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Z|Y,\theta^k)\log\frac{P(Y,Z|\theta)}{P(Z|Y,\theta^k)}\\ =&B(\theta,\theta^k) \end{aligned}\label{} \end{gather} $
當$\theta = \theta^k$時，有
$ \begin{gather} \begin{aligned} L(\theta^k) \ge& B(\theta^k,\theta^k)\\ =&\sum\limits_{Y\in \mathcal{Y}}\sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Z|Y,\theta^k)\log\frac{P(Y,Z|\theta^k)}{P(Z|Y,\theta^k)}\\ =&\sum\limits_{Y\in \mathcal{Y}}\sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Z|Y,\theta^k)\log P(Y|\theta^k)\\ =&\sum\limits_{Y\in \mathcal{Y}}\log P(Y|\theta^k)\\ =&L(\theta^k)\\ \end{aligned} \label{} \end{gather} $
也就是在這時，$(2)$式取等，即$L(\theta^k) = B(\theta^k,\theta^k)$。取
$ \begin{gather} \theta^*=\text{arg}\max\limits_{\theta}B(\theta,\theta^k)\label{} \end{gather} $
可得不等式
$L(\theta^*)\ge B(\theta^*,\theta^k)\ge B(\theta^k,\theta^k) = L(\theta^k)$
所以，我們只要優化$(4)$式，讓$\theta^{k+1} = \theta^*$，即可保證每次迭代的非遞減勢頭，有$L(\theta^{k+1})\ge L(\theta^k)$。而由於似然函數是概率乘積的對數，一定有$L(\theta) < 0$，所以迭代有上界並且會收斂。以下是《統計學習方法》中EM算法一次迭代的示意圖：
進一步簡化$(4)$式，去掉優化無關項：
$ \begin{aligned} \theta^*=&\text{arg}\max\limits_{\theta}B(\theta,\theta^k) \\ =&\text{arg}\max\limits_{\theta}\sum\limits_{Y\in \mathcal{Y}}\sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Z|Y,\theta^k)\log\frac{P(Y,Z|\theta)}{P(Z|Y,\theta^k)} \\ =&\text{arg}\max\limits_{\theta}\sum\limits_{Y\in \mathcal{Y}}\sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Z|Y,\theta^k)\log P(Y,Z|\theta) \\ =&\text{arg}\max\limits_{\theta}Q(\theta,\theta^k) \\ \end{aligned} $
$Q$函數使用導數求極值的方程與沒有隱變量的方程類似，容易求解。
綜上，EM算法的流程為：
1. 設置$\theta^0$的初值。EM算法對初值是敏感的，不同初值迭代出來的結果可能不同。
2. 更新$\theta^k = \text{arg}\max\limits_{\theta}Q(\theta,\theta^{k-1})$。理解上來說，通常將這一步分為計算$Q$與極大化$Q$兩步，即求期望E與求極大M，但在代碼中並不會將它們分出來，因此這裏濃縮為一步。另外，如果這個優化很難計算的話，因為有不等式的保證，直接取$\theta^k$為某個$\hat{\theta}$，只要有$Q(\hat{\theta},\theta^{k-1})\ge Q(\theta^{k-1},\theta^{k-1})$即可。
3. 比較$\theta^k$與$\theta^{k-1}$的差異，比如求它們的差的二范數，若小於一定閾值就結束迭代，否則重複步驟2。
下面記錄一下我對$(1)$式取出$P(Z|Y,\theta^k)$而不取別的$P$的理解：
經過以上的推導，我認為這是為了給不等式取等創造條件。如果不能確定$L(\theta^k)$與$Q(\theta^k,\theta^k)$能否取等，那麼取$Q$的最大值$Q(\theta^*,\theta^k)$時，儘管有$Q(\theta^*,\theta^k)\ge Q(\theta^k,\theta^k)$，但並不能保證$L(\theta^*)\ge L(\theta^k)$，迭代的不減性質就就沒了。
我這裏暫且把它看做一種巧合，是研究EM算法的大佬，碰巧想用Jenson不等式來迭代而構造出來的一種做法。本人段位還太弱，無法正向理解其中的緣故，只能以這種方式來揣度大佬的思路了。知乎大佬發的EM算法九層理解（點擊鏈接），我當前只能到第3層，有時間一定要拜讀一下深度學習之父的著作。
高斯混合模型的應用
迭代式推導
假設高斯混合模型混合了$m$個高斯分佈，參數為$\theta = (\alpha_1,\theta_1,\alpha_2,\theta_2,…,\alpha_m,\theta_m),\theta_i=(\mu_i,\sigma_i)$則整個概率分佈為：
$\displaystyle P(y|\theta) = \sum\limits_{i=1}^m\alpha_i \phi(y|\theta_i) = \sum\limits_{i=1}^m\frac{\alpha_i }{\sqrt{2\pi}\sigma_i}\exp\left(-\frac{(y-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2}\right),\;\text{where}\;\sum\limits_{j=1}^m\alpha_j = 1$
對混合分佈抽樣$n$次得到$\{y_1,…,y_n\}$，則在第$k+1$次迭代，待優化式為：
$\begin{gather}\begin{aligned} &\max\limits_{\theta}Q(\theta,\theta^k) \\ =&\max\limits_{\theta}\sum\limits_{Y\in \mathcal{Y}}\sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Z|Y,\theta^k)\log P(Y,Z|\theta) \\ =&\max\limits_{\theta}\sum\limits_{Y\in \mathcal{Y}}\sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} \frac{P(Z,Y|\theta^k)}{P(Y|\theta^k)}\log P(Y,Z|\theta) \\ =&\max\limits_{\theta}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m \frac{\alpha_j^k\phi(y_i|\theta_j^k)} {\sum\limits_{l=1}^m \alpha_l^k\phi(y_i|\theta_l^k)} \log \left[\alpha_j\phi(y_i|\theta_j)\right] \\ =&\max\limits_{\theta}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m \frac{\alpha_j^k\phi(y_i|\theta_j^k)} {\sum\limits_{l=1}^m \alpha_l^k\phi(y_i|\theta_l^k)} \log \left[ \frac{\alpha_j}{\sqrt{2\pi}\sigma_j}\exp\left(-\frac{(y_i-\mu_j)^2}{2\sigma_j^2}\right) \right]\\ =&\max\limits_{\theta}\sum\limits_{j=1}^m \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_j^k\phi(y_i|\theta_j^k)} {\sum\limits_{l=1}^m \alpha_l^k\phi(y_i|\theta_l^k)} \left[ \log \alpha_j – \log \sigma_j-\frac{(y_i-\mu_j)^2}{2\sigma_j^2} \right]\\ \end{aligned} \label{}\end{gather}$
計算α
定義
$\displaystyle n_j = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_j^k\phi(y_i|\theta_j^k)} {\sum\limits_{l=1}^m \alpha_l^k\phi(y_i|\theta_l^k)}$
則對於$\alpha$，優化式為
$\begin{gather} \begin{aligned} \max\limits_{\alpha}\sum\limits_{j=1}^m n_j \log \alpha_j \end{aligned} \label{}\end{gather}$
又因為$\sum\limits_{j=1}^m \alpha_j=1$，所以只需優化$m-1$個參數，上式變為：
$ \max\limits_\alpha \left[ \begin{matrix} n_1&n_2&\cdots &n_{m-1}&n_{m}\\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} \log\alpha_1\\ \log\alpha_2\\ \vdots\\ \log\alpha_{m-1}\\ \log(1-\alpha_1-\cdots-\alpha_{m-1})\\ \end{matrix} \right] $
對每個$\alpha_j$求導並等於0，得到線性方程組：
$\left[\begin{matrix}n_1+n_m&n_1&n_1&\cdots&n_1\\n_2&n_2+n_m&n_2&\cdots&n_2\\n_3&n_3&n_3+n_m&\cdots&n_3\\&&&\vdots&\\n_{m-1}&n_{m-1}&n_{m-1}&\cdots&n_{m-1}+n_m\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\\\vdots\\\alpha_{m-1}\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}n_1\\n_2\\n_3\\\vdots\\n_{m-1}\\\end{matrix}\right]$
求解這個爪形線性方程組，得到
$\left[\begin{matrix}\sum_{j=1}^mn_j/n_1&0&0&\cdots&0\\-n_2/n_1&1&0&\cdots&0\\-n_3/n_1&0&1&\cdots&0\\&&&\vdots&\\-n_{m-1}/n_1&0&0&\cdots&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\\\vdots\\\alpha_{m-1}\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\\0\\0\\\vdots\\0\\\end{matrix}\right]$
因為
$\displaystyle \sum\limits_{j=1}^m n_j = \sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_j^k\phi(y_i|\theta_j^k)} {\sum\limits_{l=1}^m \alpha_l^k\phi(y_i|\theta_l^k)}=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m \frac{\alpha_j^k\phi(y_i|\theta_j^k)} {\sum\limits_{l=1}^m \alpha_l^k\phi(y_i|\theta_l^k)} =\sum\limits_{i=1}^n 1 = n$
解得
$\displaystyle\alpha_j = \frac{n_j}{n} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \frac{\alpha_j^k\phi(y_i|\theta_j^k)} {\sum\limits_{l=1}^m \alpha_l^k\phi(y_i|\theta_l^k)}$
計算σ與μ
與$\alpha$不同，它的方程組是所有$\alpha_j$之間聯立的；而$\sigma,\mu$的方程組則是$\sigma_j$與$\mu_j$之間聯立的。定義
$\displaystyle p_{ji} = \frac{\alpha_j^k\phi(y_i|\theta_j^k)} {\sum\limits_{l=1}^m \alpha_l^k\phi(y_i|\theta_l^k)}$
則對於$\sigma_j,\mu_j$，優化式為（比較$(6),(7)$式的區別）
$\begin{gather}\displaystyle\min\limits_{\sigma_j,\mu_j}\sum\limits_{i=1}^n p_{ji} \left(\log \sigma_j+\frac{(y_i-\mu_j)^2}{2\sigma_j^2} \right)\label{}\end{gather}$
對上式求導等於0，解得
$ \begin{aligned} &\mu_j = \frac{\sum\limits_{i=1}^np_{ji}y_i}{\sum\limits_{i=1}^np_{ji}} = \frac{\sum\limits_{i=1}^np_{ji}y_i}{n_j} = \frac{\sum\limits_{i=1}^np_{ji}y_i}{n\alpha_j}\\ &\sigma^2_j = \frac{\sum\limits_{i=1}^np_{ji}(y_i-\mu_j)^2}{\sum\limits_{i=1}^np_{ji}} = \frac{\sum\limits_{i=1}^np_{ji}(y_i-\mu_j)^2}{n_j} = \frac{\sum\limits_{i=1}^np_{ji}(y_i-\mu_j)^2}{n\alpha_j} \end{aligned} $
代碼實現
對於概率密度為$P(x) = −2x+2,x\in (0,1)$的隨機變量，以下代碼實現GMM對這一概率密度的的擬合。共10000個抽樣，GMM混合了100個高斯分佈。
#%%定義參數、函數、抽樣
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
dis_num = 100 #用於擬合的分佈數量
sample_num = 10000 #用於擬合的分佈數量
alphas = np.random.rand(dis_num)
alphas /= np.sum(alphas)
mus = np.random.rand(dis_num)
sigmas = np.random.rand(dis_num)**2#方差，不是標準差
samples = 1-(1-np.random.rand(sample_num))**0.5 #樣本
C_pi = (2*np.pi)**0.5
dis_val = np.zeros([sample_num,dis_num]) #每個樣本在每個分佈成員上都有值，形成一個sample_num*dis_num的矩陣
pij = np.zeros([sample_num,dis_num]) #pij矩陣
def calc_dis_val(sample,alpha,mu,sigma,c_pi):
return alpha*np.exp(-(sample[:,np.newaxis]-mu)**2/(2*sigma))/(c_pi*sigma**0.5)
def calc_pij(dis_v):
return dis_v / dis_v.sum(axis = 1)[:,np.newaxis]
#%%優化
for i in range(1000):
print(i)
dis_val = calc_dis_val(samples,alphas,mus,sigmas,C_pi)
pij = calc_pij(dis_val)
nj = pij.sum(axis = 0)
alphas_before = alphas
alphas = nj / sample_num
mus = (pij*samples[:,np.newaxis]).sum(axis=0)/nj
sigmas = (pij*(samples[:,np.newaxis] - mus)**2 ).sum(axis=0)/nj
a = np.linalg.norm(alphas_before - alphas)
print(a)
if a< 0.001:
break
#%%繪圖
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei'] #用來正常显示中文標籤
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False #用來正常显示負號
def get_dis_val(x,alpha,sigma,mu,c_pi):
y = np.zeros([len(x)])
for a,s,m in zip(alpha,sigma,mu):
y += a*np.exp(-(x-m)**2/(2*s))/(c_pi*s**0.5)
return y
def paint(alpha,sigma,mu,c_pi,samples):
x = np.linspace(-1,2,500)
y = get_dis_val(x,alpha,sigma,mu,c_pi)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.hist(samples,density = True,label = '抽樣分佈')
ax.plot(x,y,label = "擬合的概率密度")
ax.legend(loc = 'best')
plt.show()
paint(alphas,sigmas,mus,C_pi,samples)
以下是擬合結果圖，有點像是核函數估計，但是完全不同：
EM算法的推廣
EM算法的推廣是對EM算法的另一種解釋，最終的結論是一樣的，它可以使我們對EM算法的理解更加深入。它也解釋了我在$(1)$式下方提出的疑問：為什麼取出$P(Z|Y,\theta^k)$而不是別的。
定義$F$函數，即所謂Free energy自由能（自由能具體是啥先不研究了）：
$ \begin{aligned} F(\tilde{P},\theta) &= E_{\tilde{P}}(\log P(Y,Z|\theta)) + H(\tilde{P})\\ &= \sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} \tilde{P}(Z)\log P(Y,Z|\theta) – \sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} \tilde{P}(Z)\log \tilde{P}(Z)\\ \end{aligned} $
其中$\tilde{P}$是$Z$的某個概率分佈（不一定是單獨的分佈，可能是在某個條件下的分佈），$E_{\tilde{P}}$表示分佈$\tilde{P}$下的期望，$H$表示信息熵。
我們計算一下，對於固定的$\theta$，什麼樣的$\tilde{P}$會使$F(\tilde{P},\theta) $最大。也就是找到一個函數$\tilde{P}_{\theta}$，使$F$極大，寫成優化的形式就是（這裡是找函數而不是找參數哦，理解上可能要用到泛函分析的內容）：
$ \begin{aligned} &\max\limits_{\tilde{P}} \sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} \tilde{P}(Z)\log P(Y,Z|\theta) – \sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} \tilde{P}(Z)\log \tilde{P}(Z)\\ &\;\text{s.t.}\; \sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}}\tilde{P}(Z) = 1 \end{aligned} $
拉格朗日函數（拉格朗日對偶性，點擊鏈接）為：
$ \begin{aligned} L = \sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} \tilde{P}(Z)\log P(Y,Z|\theta) – \sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} \tilde{P}(Z)\log \tilde{P}(Z)+ \lambda\left(1-\sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}}\tilde{P}(Z)\right) \end{aligned} $
因為每個$\tilde{P}(Z)$之間都是求和，沒有其它其它諸如乘積的操作，所以可以直接令$L$對某個$\tilde{P}(Z)$求導等於$0$來計算極值：
$ \begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \tilde{P}(Z)} = \log P(Y,Z|\theta) – \log \tilde{P}(Z) -1 -\lambda = 0 \end{aligned} $
於是可以推出：
$ \begin{aligned} P(Y,Z|\theta) = e^{1+\lambda}\tilde{P}(Z) \end{aligned} $
又由約束$\sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}}\tilde{P}(Z) = 1$：
$P(Y|\theta) = e^{1+\lambda}$
於是得到
$\begin{gather}\tilde{P}_{\theta}(Z) = P(Z|Y,\theta)\label{}\end{gather}$
代回$F(\tilde{P},\theta)$，得到
$ \begin{aligned} F(\tilde{P}_\theta,\theta) &= \sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Z|Y,\theta)\log P(Y,Z|\theta) – \sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Z|Y,\theta)\log P(Z|Y,\theta)\\ &= \sum\limits_{Z\in \mathcal{Z}} P(Z|Y,\theta)\log \frac{P(Y,Z|\theta)}{P(Z|Y,\theta)}\\ &= \log P(Y|\theta)\\ \end{aligned} $
也就是說，對$F$關於$\tilde{P}$進行最大化后，$F$就是待求分佈的對數似然；然後再關於$\theta$最大化，也就算得了最終要估計的參數$\hat{\theta}$。所以，EM算法也可以解釋為$F$的極大-極大算法。優化結果$(8)$式也解釋了我之前在$(1)$式下方的提問。
那麼，怎麼使用$F$函數進行估計呢？還是要用迭代來算，迭代方式是和前面介紹的一樣的（懶得記錄了，統計學習方法上直接看吧）。實際上，$F$函數的方法只是提供了EM算法的另一種解釋，具體方法上並沒有提升之處。
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沙耶武里水壩開發前的地景樣貌。照片來源： （CC BY 2.0） 
